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Preço de opções: modelo de Black-Scholes O modelo de Black-Scholes para calcular o prêmio de uma opção foi introduzido em 1973 em um artigo intitulado The Pricing of Options and Corporate Liabilities publicado no Journal of Political Economy. A fórmula, desenvolvida por três economistas Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivativos (o Prêmio Nobel não é dado póstumo, no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel dos negros no preto Modelo Scholes). O modelo Black-Scholes é usado para calcular o preço teórico das opções européias de colocação e compra, ignorando quaisquer dividendos pagos durante a vida útil das opções. Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha levado em consideração os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo pode ser adaptado para contabilizar os dividendos, determinando o valor da data do dividendo do estoque subjacente. O modelo faz certas premissas, incluindo: As opções são europeias e só podem ser exercidas no vencimento. Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção. Mercados eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos). Sem comissões. A taxa de risco e a volatilidade de O subjacente é conhecido e constante segue uma distribuição lognormal que é, os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos. A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis: preço subjacente atual Opções preço de exercício Tempo até o vencimento, expresso em percentual do ano Vulitabilidade implícita Taxas de juros livres de risco Figura 4: A fórmula de precificação Black-Scholes para chamada Opções. O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1). Multiplica o preço pela variação do prémio de chamada em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente definitivo. A segunda parte, N (d2) Ke (-rt). Fornece o valor atual de pagar o preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo de Black-Scholes aplica-se a opções européias que são exercíveis apenas no dia do vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação. A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, no entanto, os comerciantes e os investidores não precisam saber nem entender a matemática para aplicar o modelo de Black-Scholes em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os comerciantes de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas das plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas de análise de opções robustas, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora on-line Black-Scholes é mostrado na Figura 5 para que o usuário deve inserir todas as cinco variáveis ​​(preço de operação, preço das ações, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco). Figura 5: Uma calculadora Black-Scholes online pode ser usada para obter valores para ambas as chamadas e colocações. Os usuários devem inserir os campos necessários e a calculadora faz o resto. Calculadora de cortesia tradingtodayBlack-Scholes Fórmulas do Excel e como criar uma tabela de cálculo de preços de opções simples Esta página é um guia para criar sua própria tabela de cálculo de preços de opções, de acordo com o modelo Black-Scholes (prorrogado para dividendos pela Merton). Aqui você pode obter uma calculadora pré-fabricada Black-Scholes Excel com gráficos e recursos adicionais, como cálculos de parâmetros e simulações. Black-Scholes no Excel: a grande imagem Se você não está familiarizado com o modelo Black-Scholes, seus parâmetros e (pelo menos a lógica de) as fórmulas, você pode querer ver esta página. Abaixo vou mostrar-lhe como aplicar as fórmulas Black-Scholes no Excel e como juntá-las em uma planilha simples de preços de opções. Existem 4 etapas: células de design onde você entrará os parâmetros. Calcule d1 e d2. Calcule os preços das opções de compra e colocação. Calcule a opção Gregos. Parâmetros Black-Scholes no Excel Primeiro você precisa projetar 6 células para os 6 parâmetros Black-Scholes. Ao avaliar uma determinada opção, você terá que inserir todos os parâmetros nessas células no formato correto. Os parâmetros e formatos são: S 0 preço subjacente (USD por ação) X preço de exercício (USD por ação) r taxa de juros sem risco ajustada contínua (pa) q rendimento de dividendos continuamente composto (pa) t tempo de vencimento (do ano) O preço subjacente é o preço ao qual o título subjacente está sendo negociado no mercado no momento em que você está fazendo o preço da opção. Insira em dólares (ou eurosyenpound, etc.) por ação. Preço de greve. Também chamado de preço de exercício, é o preço pelo qual você irá comprar (se for chamado) ou vender (se colocar) o título subjacente se você optar por exercer a opção. Se você precisar de mais explicações, veja: Strike vs. Market Price vs. Underlyings Price. Digite também em dólares por ação. A volatilidade é o parâmetro mais difícil de estimar (todos os outros parâmetros são mais ou menos dados). É seu trabalho decidir qual a alta volatilidade que você espera e qual o número para entrar no modelo de Black-Scholes, nem esta página irá dizer-lhe como a alta volatilidade esperada com sua opção particular. Ser capaz de estimar (prever) a volatilidade com mais sucesso do que outras pessoas é a parte mais difícil e o fator-chave que determina o sucesso ou o fracasso na negociação de opções. O importante aqui é inseri-lo no formato correto, que é p. a. (Percentual anualizado). A taxa de juros livre de risco deve ser inserida na p. a. Composto de forma contínua. O tenor de taxas de juros (prazo de vencimento) deve corresponder ao tempo até o vencimento da opção que você está classificando. Você pode interpolar a curva de rendimento para obter a taxa de juros para o seu horário exato de expiração. A taxa de juros não afeta o preço da opção resultante muito no ambiente de baixo interesse, que nós temos nos últimos anos, mas pode se tornar muito importante quando as taxas são mais altas. O rendimento do dividendo também deve ser inserido na p. a. Composto de forma contínua. Se o estoque subjacente não pagar qualquer dividendo, digite zero. Se você estiver classificando uma opção em títulos que não sejam ações, você pode inserir a taxa de juros do segundo país (para opções de FX) ou o rendimento de conveniência (para commodities) aqui. O tempo de vencimento deve ser inserido a partir do ano entre o momento do preço (agora) e o vencimento da opção. Por exemplo, se a opção expirar em 24 dias de calendário, você entrará 243656.58. Alternativamente, você pode querer medir o tempo em dias de negociação em vez de dias de calendário. Se a opção expirar em 18 dias de negociação e há 252 dias de negociação por ano, você entrará no prazo de vencimento como 182527.14. Além disso, você também pode ser mais preciso e medir o tempo de expiração para horas ou até mesmo minutos. Em qualquer caso, você deve sempre expressar o tempo de vencimento a partir do ano para que os cálculos devam retornar os resultados corretos. Eu vou ilustrar os cálculos no exemplo abaixo. Os parâmetros estão nas células A44 (preço subjacente), B44 (preço de operação), C44 (volatilidade), D44 (taxa de juros), E44 (rendimento de dividendos) e G44 (prazo de vencimento a partir do ano). Nota: É a linha 44, porque estou usando a Calculadora Black-Scholes para capturas de tela. Você pode, naturalmente, começar na linha 1 ou organizar seus cálculos em uma coluna. Black-Scholes d1 e d2 Excel Formulas Quando você tem as células com parâmetros prontos, o próximo passo é calcular d1 e d2, pois esses termos entram todos os cálculos de chamadas e colocam os preços das opções e os gregos. As fórmulas para d1 e d2 são: Todas as operações nessas fórmulas são matemáticas relativamente simples. As únicas coisas que podem ser desconhecidas para alguns usuários de Excel menos esclarecidos são o logaritmo natural (função LN Excel) e a raiz quadrada (função SQRT Excel). O mais difícil na fórmula d1 é garantir que você coloque os suportes nos lugares certos. É por isso que você pode querer calcular partes individuais da fórmula em células separadas, como eu faço no exemplo abaixo: Primeiro eu calculo o logaritmo natural da proporção de preço subjacente e preço de exercício na célula H44: então eu calculo o resto de O numerador da fórmula d1 na célula I44: então eu calculo o denominador da fórmula d1 na célula J44. É útil calcular isso separadamente, porque este termo também entrará na fórmula para d2: agora tenho todas as três partes da fórmula d1 e posso combiná-las na célula K44 para obter d1: Finalmente, eu calculo d2 em Célula L44: Black-Scholes Option Price Fórmulas Excel As fórmulas Black-Scholes para opção de compra (C) e os preços de opção de venda (P) são: As duas fórmulas são muito semelhantes. Existem quatro termos em cada fórmula. Eu os calcularei novamente em células separadas primeiro e depois as combinarei na última chamada e colocarei fórmulas. N (d1), N (d2), N (-d2), N (-d1) As partes potencialmente desconhecidas das fórmulas são N (d1), N (d2), N (-d2) e N (-d1 ) Termos. N (x) denota a função de distribuição cumulativa normal padrão 8211, por exemplo, N (d1) é a função de distribuição cumulativa padrão normal para o d1 que você calculou no passo anterior. No Excel, você pode calcular facilmente as funções padrão de distribuição cumulativa normal usando a função NORM. DIST, que possui 4 parâmetros: NORM. DIST (x, mean, standarddev, cumulative) x link para a célula onde você calculou d1 ou d2 (com Sinal de menos para - d1 e - d2) significa enter 0, porque é padrão standarddev de distribuição normal entrar 1, porque é normal distribuição normal cumulativa digite TRUE, pois é cumulativa Por exemplo, eu calculo N (d1) na célula M44: Nota: Também existe a função NORM. S.DIST no Excel, que é a mesma que NORM. DIST com o meio fixo 0 e o standarddev 1 (portanto, você insere apenas dois parâmetros: x e cumulativo). Você pode usar o Im mais usado para NORM. DIST, o que proporciona maior flexibilidade. Os Termos com Funções Exponentes Os expoentes (termos e-qt e e-rt) são calculados usando a função EXP Excel com - qt ou - rt como parâmetro. Eu calculo e-rt na célula Q44: então eu uso isso para calcular X e-rt na célula R44: de forma análoga, eu calculo e-qt na célula S44: então eu uso isso para calcular S0 e-qt na célula T44: Agora eu Tem todos os termos individuais e posso calcular a chamada final e colocar o preço da opção. Black-Scholes Call Option Price no Excel Eu combino os 4 termos na fórmula de chamada para obter o preço da opção de compra na célula U44: Black-Scholes Put Option Price no Excel Combino os 4 termos na fórmula put para obter o preço da opção de venda na célula U44: Black-Scholes Greeks Excel Formulas Aqui você pode continuar para a segunda parte, o que explica as fórmulas para delta, gamma, theta, vega e rho no Excel: Ou você pode ver como todos os cálculos do Excel funcionam juntos no Black - Calculadora de Scholes. Explicação dos outros recursos da calculadora8217s (cálculos de parâmetros e simulações de preços de opções e gregos) estão disponíveis no guia PDF em anexo. Ao permanecer neste site e usando o conteúdo do Macroption, você confirma que leu e concorda com o Contrato de Termos de Uso, como se você o assinasse. O Acordo também inclui Política de Privacidade e Política de Cookies. Se você não concorda com nenhuma parte deste Contrato, deixe o site e pare de usar qualquer conteúdo Macroption agora. Todas as informações são apenas para fins educacionais e podem ser imprecisas, incompletas, desatualizadas ou erradas. A Macroption não é responsável por quaisquer danos resultantes da utilização do conteúdo. Nenhum conselho financeiro, de investimento ou comercial é dado a qualquer momento. Copie 2017 Macroption ndash Todos os direitos reservados. Autor: Iain J. Clark Os erros e erros de um livro são embaraçosos, mas, infelizmente, são inevitáveis ​​como erros no código do computador. Detectar e corrigi-los é igualmente importante. Se você encontrar erros não listados abaixo, por favor, avise-me e vou tabulá-los aqui para todos os benefícios. Aceite minhas desculpas pelos erros. Pg 5. dólares em dólares longos devem ler linha de dólares EU longa 17 pg 8. modificado para frente deve ler modificado seguindo linha 13 pg 15. Eqn (2.10), termo final em LHS: Vt deve ler V linha 14 pg 17. containg deve ler contendo Linha 2. Também para clareza, substitua a ausência de qualquer termo mu por ausência de qualquer termo M, lembrando que a taxa de crescimento do mundo real mu não é rd-rf (denotada como lama, ver Seção 2.7.2) linha 3 pg 19. b (X, t, t) deve ler b (Xt, t) em (2.32) e no mostrador eqn 5 linhas abaixo das linhas 17 amp 22 pg 24. Egn (2.54): superscripts d e f na ordem errada. Wtf Wtd sigma t deve ler Wtd Wtf sigma t pg 27. Dd e Df diretamente após a equação (2.69) são supérfluos. Remover. Linha 16 pg 28. Eqn (2.70), 1ª linha: 0 0 deve ler S0 0. pg 31. Dois erros de digitação: 1) Eqn (2.82): - sigma2 no numerador deve ler - 12 sigma2 2) Eqn (2.83d): D2 (S0, - L) deve ler - d2 (S0, L) cf (2.88) em pg 33 pg 45. Typo em derivada parcial na 2ª linha de eqüino de várias linhas (3,4) linha 14 1) parcial S parcial S deve ler parcial F parcial S0 Além disso, primeira linha de eqüidade de várias linhas (3,5 ) Dentro da seção 3.2.4 tem duas linhas de falha de texto 23: 2) substituir FF no denominador por F S0 3) inserir e antes da derivada parcial, ou seja, diretamente após o segundo sinal de igualdade pg 59. substituir delta0 por sigma0 no denominador de ( 3.22) e no texto 2 linhas abaixo das linhas 7 e 9 pg 79. b (x, t) p (x, t) deve ler b (x, t) 2p (x, t) no numerador do termo final em RHS de ( 5.9) linha 17 pg 106. Eqn (6.14) - Vários erros de notação: 1) substituir FT por F - cinco ocorrências, tudo em (6.14a) 2) substituir alpha por sigma0 - quatro ocorrências, três em (6.14a) e uma Em (6.14b) 3) substituir nu por alfa - três ocorrências, duas em (6.14a) e uma em (6.14b) 4) substituir Nós apenas citamos o resultado aqui. Depois (6.14c) por Nós apenas citamos o resultado aqui, observando que o caso especial para opções de ATM, onde KF, se reduz à equação (2.18) de Hagan et al. (2002). Pg 107. No texto imediatamente abaixo (6.16), o log de substituição log SO normalmente é distribuído com log (ST S0) normalmente é distribuído pg 109. 1) Substitua e (iphi 1) por e (iphi j) in (6.20b) 2) Exibir a equação entre (6.23) e (6.24) faltando um fator multiplicativo (i phi j) dentro da exponencial. Deve ter a mesma forma que em (6.24) imediatamente abaixo. Substitua exp (-frac12 int0T vt dt int0T sqrt dWt) com exp ((i phi j) (-frac12 int0T vt dt int0T sqrt dWt)) pg 110. Eqn diretamente abaixo do início de texto Usando isso, nós temos a linha 18 com dois erros de digitação: 1) rhokappa alfa sobre a metade do caminho deve ler (rhokappa alfa) (iphi j) 2) (vT-v0-mT) alfa deve ler (vT-v0-mT) alfa, ou seja, dividir não multiplicar por alfa pg 112. Em (6.33) Há um fator errôneo de 12 na derivada parcial mista, ou seja, o primeiro termo na segunda linha da equação de exibição. Isso deve ser removido. Pg 118. 1) nos modelos LSV deve ser lida em modelos LSV são a linha 14 2) No início da oração Lemos diretamente, A (St t) deve ler a linha A (St, t) 22 pg 119. Substituir sigma 2 (K , T) com sigma (K, T) em (6.60a) linha 12 pg 175. 1) Numerador de expressão que contribui para c1 deve ler x - x linha 12 2) Denominadores de expressões que contribuem para c1 e c2 devem ler x-x Linhas 12 e 13 pg 180. Remova (veja a Tabela 8.2), pois a tabela se refere claramente às opções de barreira americanas. Pág. 181. Tabela 8.2, as duas linhas finais devem ter MT não ST nos índices para a função do indicador. Pg 182. Eqn (8.2): - sigma2 no numerador deve ler - 12 sigma2 pg 183. 1) Substituir mT e MT por mt e Mt no texto antes da linha de equação de exibição 16 2) Substituir H pela linha U 28 3) Substituir o subtítulo Pela linha de subíndice 28 pg 184. Em muitos casos nesta seção, substitua H por U (considere como completamente sinônimo) pg 185. 1) Substitua o le T le T por 0 le t le T linha 25, ou seja, a segunda última linha no final Exibir eq 2) Equação de exibição final na página, substituir T gt H por T gt U pg 187. Substituir T por T na linha 6, 7 e 8 3 ocorrências pg 188. Substituir o cabeçalho da seção na metade da página D-omestic por Doméstica pg 190 1) Substitua (SK) por ST-K linha 16, ou seja, 7ª linha da seção 8.3.3 2) Substitua IDT2P por IDT2 linha 26, ou seja, equação final na página pg 193. Exiba a equação diretamente acima, enquanto isso é bastante formidável deve Leia, no meio, omega (C - K) em vez de omega C - K linha 14 pg 214. Substitua tN1 por t na linha 4 da Seção 9.7. Pg 215. 1) Substitua R com curlymath S como visto no LHS de (9.18b) linha 1 2) Substitua rf (s) com rfs in (9.23) e (9.24) duas ocorrências pg 227. 1) o triângulo atualmente deve ler Triângulo da moeda em 2 lugares da Figura 10.1. 2) A legenda da Figura 10.1 (c) deve ler após a apreciação de EUR contra USD e JPY (USDJPY inalterado) 3) Equação de exibição final na página que começa dXt deve ter 12 (sigma) 2 -12 (sigma) 2 não 12 (Sigma) 2 - (sigma) 2. Pg 231. Substitua St com ST em (10.10) pg 245. Substitua 0.04 sigma sqrt por 0,4 S0 sigma sqrt line 7 pg 254. Eqn (11.14): Substitua. C com. C - Cd para simetria com C pg 259. Na seção 11.8, 2º parágrafo, substitua sigma por sigma linha 23 pg 260. Substitua usando, assumindo que as correlações entre os movimentos brownianos são constantes e, portanto, usando a linha 18 pg 261. 1) Remover Suponha que as correlações entre os movimentos brownianos sejam constantes na linha 1 2) Substitua Rho por Rho Line 5 pg 271. Vírgula desaparecida após o segundo autor - Briys, E. Bellelah, M. Mai, HM e de Varenne, F. (1998) Errata a partir de 10 de dezembro de 2013. O autor agradece as contribuições de Alan Bain, Josua Mueller, Zbigniew Matosek, Wilbur Langson, Lorenz Schneider, Peter Cooke e outros críticos que pediram para permanecerem anônimos. - Se você denunciar algum erro, avise-me se você preferirá sua contribuição reconhecida acima ou se preferir permanecer anônimo. Editora: Wiley Finance